A polytopal approach to Apollonian packings and discrete knotted structures
Une approche polytopale des empilements apolloniens et des structures nouées discrètes
Résumé
In the last decades, Apollonian packings have drawn increasing attention due totheir applications in number theory, geometric group theory, hyperbolic geometry,fractal structures and discrete geometry. In this thesis, we introduce a class of spherepackings where the combinatorics is carried by an edge-scribed polytope. Through thisconnection, we generalize the Apollonian packings in different geometric settings andin higher dimensions. This polytopal structure also allows us to obtain a generalizationof the Descartes’ theorem for the sphere packings which are based on regular polytopes in every dimension. We use the polytopal generalization of the Descartes’ theorem to find characterizations for the integrality of the Apollonian packings based on the Platonic solids. Then, we introduce the notion of Apollonian section, and we use itto show that the set of curvatures of any integral tetrahedral, octahedral or cubicalApollonian packing is contained in the set of curvatures of an integral orthoplicialApollonian packing. The polytopal approach that we propose also allows us to extend the applications of Apollonian packings into a novel direction in the area of topology. In this thesis, we introduce two methods of construction of necklace representations of knots and links. The first method follows directly from the Koebe-Andreev-Thurston Circle Packing Theorem and gives a linear upper bound on the minimum number of spheres needed to construct a necklace representation in terms of the crossing number. In the second method, we use the fractal structure of orthoplicial Apollonian packings to construct necklace representations of rational links with interesting arithmetical properties.
Les empilements apolloniens ont attiré l’attention des mathématiciens en raison de leurs applications en théorie des nombres, théorie géométrique des groupes, géométrie hyperbolique, structures fractales et géométrie discrète. Dans cette thèse, nous introduisons une classe d’empilements de sphères où la combinatoire est donnée par un polytope inscrit aux arêtes. À travers cette connexion, nous généralisons les empilements apolloniens dans d’autres contextes géométriques et en dimensions supérieures. Cette structure polytopale permet également d’obtenir une généralisation du théorème de Descartes pour les empilements de sphères provenant des polytopes réguliers dans toutes les dimensions. Nous utilisons ce résultat pour caractériser l’intégralité des empilements apolloniens provenant des solides platoniciens. Puis, nous introduisons la notion de section apollonienne, et nous l’utilisons pour montrer que l’ensemble des courbures de tout empilement apollonien intégral tétraédrique, octaédrique ou cubique est contenu dans l’ensemble des courbures d’un empilement apollonien orthoplicial intégral. L’approche polytopale que nous proposons nous permet également d’étendre les applications des empilements apolloniens dans une nouvelle direction dans le domaine de la topologie. Dans cette thèse, nous introduisons deux méthodes de construction de représentations en colliers de noeuds et d’entrelacs. La première méthode découle directement du théorème d’empilements de cercles de Koebe-Andreev-Thurston, et donne une borne supérieure linéaire sur le nombre minimal de sphères nécessaires pour construire une représentation en collier en termes du nombre minimal de croisements. Dans la seconde méthode, nous utilisons la structure fractale des empilements apolloniens orthopliciaux pour construire des représentations en collier des entrelacs rationnels avec des propriétés arithmétiques intéressantes.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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